Complex Multiplication

定义 Definition

complex multiplication（复数乘法）：指对两个复数进行相乘的运算。若 (z_1=a+bi)、(z_2=c+di)，则
[ z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i ] 在极坐标/指数形式中，若 (z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1))、(z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2))，则乘积的模相乘、幅角相加：
[ |z_1z_2|=r_1r_2,\quad \arg(z_1z_2)=\theta_1+\theta_2 ] （也常被理解为“缩放 + 旋转”的几何操作。）

发音 Pronunciation

/ˈkɑːmˌplɛks ˌmʌl.tɪ.plɪˈkeɪ.ʃən/

词源 Etymology

complex 源自拉丁语 complexus（“缠绕在一起、组合的”），在数学中引申为“由实部与虚部组合而成的（复数）”。multiplication 来自拉丁语 multiplicare（“使成倍、增加”）。合起来即“对复数进行的乘法运算”。

例句 Examples

Complex multiplication can be done using the distributive law.
复数乘法可以用分配律来进行计算。

In the polar form, complex multiplication multiplies magnitudes and adds arguments, which corresponds geometrically to scaling and rotating the plane.
在极坐标形式中，复数乘法会让模相乘、幅角相加，在几何上对应对平面进行缩放与旋转。

相关词 Related Words

• Complex Number
• Multiplication
• Imaginary Unit
• Polar Form
• Modulus
• Argument
• Euler's Formula
• Conjugate
• Rotation
• Distributive Property

文学与著作 Literary Works

• Complex Analysis（Lars Ahlfors）中在复平面运算与映射部分频繁使用“complex multiplication”及其几何解释。
• Visual Complex Analysis（Tristan Needham）用直观图形展示复数乘法对应的“旋转+伸缩”。
• Complex Variables and Applications（Brown & Churchill）在复数代数与指数形式章节系统讲解复数乘法的两种计算方式。